Método de cambio de variable

¿Qué es el método de integración por cambio de variable?

Las integrales por cambio de variable —también conocidas como integrales por sustitución de variable— se realizan introduciendo una nueva variable en la ecuación y utilizando esta elección de cambio para que la integral sea más fácil de resolver.

La integración por cambio de variable es la inversa de la regla de la cadena para las derivadas.

Integrales por cambio de variable

Las integrales por cambio de variable —también conocidas como integrales por sustitución de variable— se realizan introduciendo una nueva variable en la ecuación y utilizando esta elección de cambio para que la integral sea más fácil de resolver.

 

Como indica su nombre, este método de integración consiste en la aplicación de un cambio de variable para simplificar el integrando. No vamos a explicar el método formalmente, pero los pasos a seguir son los siguientes:

1. Escoger un cambio de variable z= función de x.
2. Despejar x para calcular dx.
3. Sustituir en la integral, resolverla y deshacer el cambio de variable.

La dificultad del método es escoger un cambio útil, ya que, en caso contrario, la integral resultante puede ser de mayor dificultad. En la siguiente tabla se recogen los cambios de variable que tienen alta probabilidad de funcionar en las integrales que usualmente veremos:

Integral 1

Integral de un cociente con exponenciales:

Atendiendo a la tabla, escogemos el cambio de variable

Con este cambio, e3x=z3${\mathrm{,\; así\; que\; obtendremos\; un\; cociente\; de\; polinomios.<o:p></o:p>}}^{}$

${}^{}$

Despejamos x$\mathrm{<span\; style="color:\; black;\; font-family:\; "Open\; Sans",sans-serif;\; font-size:\; 13.5pt;"> aplicando\; logaritmos:<o:p></o:p></span>}$

$$

Derivamos para calcular dx

Sustituimos en la integral y simplificamos (no olvidéis sustituir también dx$\mathrm{):<o:p></o:p>}$

La integral obtenida es inmediata (un logaritmo):

Deshacemos el cambio de variable:

Por tanto,

Nota: el valor absoluto ya no es necesario porque el argumento nunca es no positivo.

 

Integral 2

Integral de un cociente con logaritmos naturales:

 

Como se indica en la tabla, escogemos el cambio

Despejamos x y derivamos:

Sustituimos en la integral y simplificamos:

Resolvemos la integral:

Deshaciendo el cambio, tenemos:

 

Integral 3

Integral de un cociente con exponenciales y raíz cuadrada:

Vamos a resolver esta integral de forma un poco distinta a las anteriores (sin despejar x).

Atendiendo a la tabla, escogemos el cambio

Aplicamos el cambio:

Observad que hemos cambiado directamente e^x dx por dz.

La integral obtenida es directa por ser la derivada del arcoseno.

Por tanto, deshaciendo el cambio,

 

 

https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-sustitucion.htm

 

$$

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integracion-por-sustitucion-o-cambio-de-variable.html#:~:text=El%20m%C3%A9todo%20de%20integraci%C3%B3n%20por,obt
enga%20una%20integral%20m%C3%A1s%20sencilla.