reglas de derivación 

reglas de derivación:

Reglas básicas de derivación

Hay muchas reglas diferentes que se pueden utilizar al diferenciar, y cada regla se puede utilizar por una razón específica. Hay tres reglas diferentes que necesitarás conocer en este artículo:

• Regla de la cadena: la cual se refiere a funciones del tipo $�(�(�))$.

• Regla del producto: que corresponde a cuando se tiene dos funciones del tipo $�(�)\cdot �(�)$.

• Regla del cociente: se refiere a la división de funciones, donde ambas pueden ser polinomios u otro tipo de función como $\frac{�(�)}{�(�)}$.

 

Reglas de la derivación: la regla de la cadena

La regla de la cadena puede utilizarse cuando se diferencia una función compuesta, que también se conoce como función de una función. La fórmula de esta regla es la siguiente:

$${\displaystyle \frac{��}{��}}={\displaystyle \frac{��}{��}}\times {\displaystyle \frac{��}{��}}$$

Esto es cuando y es una función de $�$ y $�$ es una función de $�$:

Veamos un ejemplo de ello:

Usando la regla de la cadena, diferencia la siguiente función: $�=(2{�}^3+�{)}^6$.

Primero, puedes empezar reescribiendo en términos:

$$�=2{�}^3+�$$

$$�(�)={�}^6$$

Ahora, puedes encontrar la primera parte de tu fórmula de la regla de la cadena, diferenciando: ${�}^{\prime }(�)=6{�}^5$

A continuación, puedes encontrar la segunda parte de la fórmula de la regla de la cadena, diferenciando:

$${\displaystyle \frac{��}{��}}=6{�}^2+1$$

Ahora que has encontrado las dos partes de tu suma, puedes multiplicarlas, para encontrar:

$${\displaystyle \frac{��}{��}}={\displaystyle \frac{��}{��}}\times {\displaystyle \frac{��}{��}}$$

$${\displaystyle \frac{��}{��}}=6{�}^5\times (6{�}^2+1)$$

$${\displaystyle \frac{��}{��}}=6{�}^5(6{�}^2+1)$$

Por último, es importante expresar tu respuesta en términos de $�$, y para ello puedes utilizar: $�=2{�}^3+�$

Con lo cual tienes: ${\displaystyle \frac{��}{��}}$

=6(2�3+�)5(6�2+1)

La regla de la cadena también se puede escribir en forma de notación, lo que te permite diferenciar una función de una función:

si: $�=�(�(�))$

entonces: 

Reglas de derivación: la regla del producto

La regla del producto se utiliza cuando se diferencia el producto de dos funciones.

El producto de una función puede definirse como la multiplicación de dos funciones.

Cuando se utiliza esta regla, hay que asegurarse de que se trata del producto de dos funciones y no de una función de una función, ya que se pueden confundir.

Si tenemos la siguiente función que, es la multiplicación de dos funciones: $�=�\cdot �$

Entonces, la derivada de la función es: ${�}^{\prime }={�}^{\prime }�+�{�}^{\prime }$

es decir: $�=��$, $�=�(�),�=ℎ(�)$.

Esta función también se puede escribir en notación de función:

$$�(�)=�(�)ℎ(�)$$

$${�}^{\prime }(�)={�}^{\prime }(�)ℎ(�)+�(�){ℎ}^{\prime }(�)$$

Si se tiene $�=2�{�}^2$, encuentra la derivada.

Para ello, puedes empezar por mirar la fórmula e identificar lo que necesitas:

$${�}^{\prime }={�}^{\prime }�+�{�}^{\prime }$$

$$�=2�$$

$$�={�}^2$$

Ahora, puedes diferenciar ambas funciones para encontrar sus derivadas:

$${�}^{\prime }=2$$

$${�}^{\prime }=0$$

Introduce toda la información en la fórmula, para encontrar:

$${�}^{\prime }=(2�)(0)+({�}^2)(2)$$

$${�}^{\prime }=2{�}^2$$

Reglas de derivación, división de funciones o cocientes

La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones; es decir, cuando una función se divide por otra. La fórmula utilizada para esta regla es la siguiente, esto es cuando se tiene:

$$�={\displaystyle \frac{�}{�}}$$

y por lo tanto: ${�}^{\prime }={\displaystyle \frac{{�}^{\prime }�+�{�}^{\prime }}{{�}^2}}$.

Esto también se puede escribir en notación de funciones como:

$$�(�)={\displaystyle \frac{�(�)}{ℎ(�)}}$$

$${�}^{\prime }(�)={\displaystyle \frac{ℎ(�){�}^{\prime }(�)-�(�){ℎ}^{\prime }(�)}{(ℎ(�){)}^2}}$$

Si se tiene $�=\frac{2�}{3�+4}$, encuentra la derivada.

En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:

$${�}^{\prime }={\displaystyle \frac{{�}^{\prime }�-�{�}^{\prime }}{{�}^2}}$$

$$�=2�$$

$${�}^{\prime }=2$$

$$�=3�+4$$

$${�}^{\prime }=3$$

Ahora, simplemente sustituyes:

$${�}^{\prime }={\displaystyle \frac{(3�+4)\cdot (2)-(2�)\cdot 3}{(3�+4{)}^2}}$$

Regla del producto

Hagamos algunos ejemplos de las regla del producto.

Deriva $�=\sin (�)\cdot {�}^2$

Aquí las funciones son:

$$�=\sin (�)$$

$$�={�}^2$$

Si aplicamos la fórmula, obtenemos: ${�}^{\prime }=(\cos (�))\cdot {�}^2+2�\cdot (\sin (�))$

Deriva $�={�}^{2�}{\sin }^2(�)$

Aquí las funciones son:

$$�={�}^{2�}$$

$$�=��{�}^2(�)$$

Este es un caso especial, ya que también debes usar la fórmula de la cadena, puesto que la función seno está elevada al cuadrado.

$${�}^{\prime }=2{�}^{2�}$$

$${�}^{\prime }=2\sin (�)\cos (�)$$

Sustituyendo de regreso, tenemos:

$${�}^{\prime }=2{�}^{2�}{\sin }^2(�)+{�}^{2�}2\sin (�)\cos (�)$$

Regla de la cadena

Encuentra la derivada de $�={�}^{{\sin }^2(�)}$ .

Aquí debemos identificar la funciones, en términos de la otra.

Primero, la exponencial está en términos de un seno al cuadrado, por lo que esto se puede escribir como: $�={�}^{�}$.

y la otra función es: $�={\sin }^2(�)$.

Si aplicamos la regla de la cadena, ${\displaystyle \frac{��}{��}}={�}^{�}��$.

Pero, la derivada de la nueva función $�$ es: $��=2\sin (�)\cos (�)$.

Así que se tiene: ${�}^{\prime }=2\sin (�)\cos (�){�}^{{\sin }^2(�)}$.

Reglas de Derivación - Puntos clave

• Hay tres reglas de diferenciación principales: la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
• Cada regla se usa por una razón diferente y tiene una fórmula diferente.
• La regla de la cadena se utiliza cuando estás diferenciando una función compuesta:$$�=�(�(�)),{�}^{\prime }={�}^{\prime }(�(�)){�}^{\prime }(�)$$
• La regla del producto se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones:$$�=�(�)�(�),{�}^{\prime }={�}^{\prime }(�)�(�)+{�}^{\prime }(�)�(�)$$
• La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones:
  • $${\displaystyle \frac{�(�)}{�(�)}},{�}^{\prime }={\displaystyle \frac{�(�){�}^{\prime }(�)-{�}^{\prime }(�)�(�)}{(�(�){)}^2}}$$
  https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/reglas-de-derivacion/
  $${\displaystyle \frac{�(�)}{�(�)}},{�}^{\prime }={\displaystyle \frac{�(�){�}^{\prime }(�)-{�}^{\prime }(�)�(�)}{(�(�){)}^{\mathrm{<br>}}}}$$

$${}^{�}={\displaystyle \frac{8}{(3�+4{)}^2}}$$